জ্যামিতি ও পরিমিতির গুরুত্বপূর্ণ সূত্রাবলী

Estimated Reading Time: 26 Minutes

সরলরেখা

• x অক্ষের সমীকরণ, y = 0
• y অক্ষের সমীকরণ, x = 0
• x অক্ষের সমান্তরাল সরলরেখার সমীকরণ, y = b
• y অক্ষের সমান্তরাল সরলরেখার সমীকরণ, x = a
• y অক্ষ থেকে নিদিষ্ট অংশ c ছেদ করে এবং x অক্ষের সাথে ধনাত্মক কোণ θ উৎপন্ন করে এরূপ সরলরেখার সমীকরণ, y = mx+c; এখানে, সরলরেখার ঢাল, m = tanθ। c = 0 হলে সরলরেখাটি মূলবিন্দুগামী হয় এবং সমীকরণটি দাড়ায়, y = mx.
• (x₁,y₁) বিন্দুগামী m ঢাল বিশিষ্ট সরলরেখার সমীকরণ, y-y₁ = m(x-x₁)
• কার্তেসীয় স্থানাঙ্ক (x,y) এবং পোলার স্থানাঙ্ক (r,θ) হলে, x=rcosθ, y=rsinθ এবং মডুলাস, r=√x2+y2, আর্গুমেন্ট, θ=tan−1 (y/x)
• A (x₁,y₁) ও B (x₂,y₂) বিন্দুগামী সরলরেখার ঢাল(gradient), m = \frac{কোটিদ্বয়ের অন্তর}{ভুজদ্বয়ের অন্তর}=\frac{y_1-y_2}{x_1-x_2}
• ax+by+c=0 সরলরেখার ঢাল, m = -(a/b)
• A (x₁, y₁), B (x₂, y₂) এবং C (x₃, y₃) বিন্দু তিনটি সমরেখ হবে যদি AB এবং AC রেখাদ্বয়ের ঢাল একই হয়।

পরিমিতি

ত্রিভুজ

ত্রিভুজ	তথ্য
বিসমবাহু ত্রিভুজ (scalene triangle)	বাহুগুলোর দৈর্ঘ্য a, b, c হলে, পরিসীমা, s = a+b+c ক্ষেত্রফল, A = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}
সমবাহু ত্রিভুজ (Equilateral triangle)	বাহুগুলোর দৈর্ঘ্য a, b, c হলে, পরিসীমা = 3a ক্ষেত্রফল = \frac{\sqrt{3}}{4}a^2 মধ্যমা = \frac{\sqrt{3}}{2}a উচ্চতা = √3/2×(বাহু)
সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ (Isosceles triangle)	বাহুগুলোর দৈর্ঘ্য a, b, c হলে, পরিসীমা = 2a+b ক্ষেত্রফল = \frac{b}{4}\sqrt{4a^2-b^2} উচ্চতা = √b² – a²/4
সমকোণী ত্রিভুজ (Right triangle)	বাহুগুলোর দৈর্ঘ্য a, b, c হলে, পরিসীমা = a+b+c ক্ষেত্রফল = \frac{1}{2}ab পীথাগোরাসের সূত্র: c^2=a^2+b^2
সুক্ষ্মকোণী ত্রিভূজ (Acute triangle)	বাহুগুলোর দৈর্ঘ্য a, b, c হলে এবং অর্ধপরিসীমা s., ক্ষেত্রফল, A = \sqrt{s(s - a)(s - b)(s - c)} এখানে, s = \frac{a + b + c}{2}.
স্থুলকোণী ত্রিভুজ (Obtuse triangle)	বাহুগুলোর দৈর্ঘ্য a, b, c হলে এবং অর্ধপরিসীমা s., ক্ষেত্রফল, A = \sqrt{s(s - a)(s - b)(s - c)} এখানে, s = \frac{a + b + c}{2}.

যেকোন ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = ১/২ ভূমি উচ্চতা।

ত্রিভুজের যেকোনো দুইটি বাহুর দৈর্ঘ্য a ও b; তাদের অন্তর্ভূক্ত কোণ θ এবং ক্ষেত্রফল A বর্গ একক হলে,A = 1/2 absinθ বর্গ একক।

ত্রিভুজ অঙ্কন করা যাবে –

• তিনটি বাহু দেওয়া থাকলে।
• দুটি বাহু ও তাদের অন্তর্ভুক্ত কোণ দেওয়া থাকলে।
• দুটি বাহু ও তাদের বিপরীত কোণ দেওয়া থাকলে।
• দুটি কোণ ও একটি বাহু দেওয়া থাকলে।

দুটি ত্রিভুজ সর্বসম হবে যদি –

• একটি ত্রিভুজের তিনটি বাহুই অপর ত্রিভুজের তিন বাহুর সমান হয়।
• একটি ত্রিভুজের দুটি বাহু ও তাদের অন্তর্ভুক্ত কোণ অপর ত্রিভুজের দুটি বাহু ও তাদের অন্তর্ভুক্ত কোণের সমান হয়।
• একটি ত্রিভুজের দুটি কোণ ও এক বাহু অপর ত্রিভুজের দুটি কোণ ও এক বাহুর সমান হয়।

বৈশিষ্ট্য

• ত্রিভুজের যেকোন দুই বাহুর যোগফল তৃতীয় বাহু অপেক্ষা বড়।
• ত্রিভুজের যেকোন দুই বাহুর বিয়োগফল তৃতীয় বাহু অপেক্ষা ছোট।
• ত্রিভুজের সমান সমান বাহুর বিপরীত কোণগুলোও সমান। অন্যকথায়, সমান সমান কোণের বিপরীত বাহুগুলো সমান হয়।
• ত্রিভুজের একটি কোণ অপর একটি কোণ অপেক্ষা বড় হলে, বড় কোণের বিপরীত বাহু ছোট কোণের বিপরীত বাহুর চেয়ে বড় হবে।
• ত্রিভুজের মধ্যমা তিনটির সমষ্টি তার পরিসীমা অপেক্ষা ক্ষুদ্রতর।
• ত্রিভুজের কোন এক বাহু বর্ধিত করলে যে বহিঃস্থ কোণ উৎপন্ন হয় তা অন্তঃস্ত বিপরীত কোণদ্বয়ের যোগফলের সমান।
• ত্রিভুজের প্রত্যেকটি বাহুকে বর্ধিত করলে যে তিনটি বহিঃস্থ কোণ উৎপন্ন হয় তাদের সমষ্টি ৭২০ ডিগ্রি।
• ত্রিভুজের যেকোন দুটি বাহুর মধ্যবিন্দুর সংযোজক সরলরেখা তৃতীয় বাহুর সমান্তরাল ও দৈর্ঘ্যে তার অর্ধেক।
• ত্রিভুজের মধ্যমাত্রয় সমবিন্দু এবং এরা পরস্পরকে ২ : ১ অনুপাতে বিভিক্ত করে।

কোণক

সমবৃত্তভূমিক ভূমির ব্যাসার্ধ r এবং উচ্চতা h আর হেলানো তলের উচ্চতা l হলে,

কোণকের বক্রতলের ক্ষেত্রফল =\frac{1}{2} ✕ ভূমির পরিধি ✕ হেলানো উন্নতি = \frac{1}{2} \times 2πr \times l = πrl = πr\sqrt{(h²+r²)}

কোণকের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল = বক্রতলের ক্ষেত্রফল + ভূমির ক্ষেত্রফল = πrl+ πr² = πr(l+r)

কোণকের আয়তন= ⅓ ✕ ভূমির ক্ষেত্রফল ✕ উচ্চতা = \frac{1}{3} \times πr² \times h = \frac{1}{3} πr²h.

ত্রিভুজাকৃতির প্রিজমের আয়তন = bhl/2; এখানে b = ক্রিভূজের ভূমি, h = ত্রিভূজের উচ্চতা, l = প্রিজমের দৈর্ঘ্য।

বৃত্ত

বৃত্তের ব্যাসার্ধ r হলে –

ক্ষেত্রফল = \pi r^2
পরিধি = 2\pi r
বৃত্তচাপের দৈর্ঘ্য, L = \frac{\pi r\theta}{180}; এখানে θ বৃত্তচাপ কর্তৃক কেন্দ্রে উৎপন্ন কোণ।
কোণের বৃত্তীয়মান, θ = চাপ/ব্যাসার্ধ = L/r
বৃত্তচাপ দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = \frac{\theta}{360}\pi r^2

বৃত্তের সাধারণ সমীকরণ: x^2+y^2+2gx+2fy+c=0. এতে –

• কেন্দ্রের স্থানাঙ্ক: (-g, -f)
• ব্যাসার্ধ: \sqrt {{g^2} + {f^2} - c}
• বৃত্ত কর্তৃক X –অক্ষের খণ্ডিত অংশ: 2\sqrt {{g^2} - c}
• বৃত্ত কর্তৃক Y –অক্ষের খণ্ডিত অংশ: 2\sqrt {{f^2} - c}
• বৃত্তটি X –অক্ষকে স্পর্শ করলে: {g^2} = c
• বৃত্তটি Y –অক্ষকে স্পর্শ করলে: {f^2} = c
• বৃত্তটি উভয় অক্ষকে স্পর্শ করলে: {g^2} = {f^2} = c
• বৃত্তের কেন্দ্র X –অক্ষের উপর থাকলে: f = 0
• বৃত্তের কেন্দ্র Y –অক্ষের উপর থাকলে: g = 0

(h, k) কেন্দ্র এবং r ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট বৃত্তের সমীকরণ: (x-h)^2+(y-k)^2=r^2
মূলবিন্দুতে কেন্দ্র হলে, x^2+y^2=r^2

বৃত্তের বৈশিষ্ট্য:

• অর্ধবৃত্তস্থ কোণ এক সমকোণ (৯০ ডিগ্রি)।
• বৃত্তের একই চাপের উপর দণ্ডায়মান বৃত্তস্থ কোণ কেন্দ্রস্থ কোণের অর্ধেক।
• বৃত্তের অন্তস্ত বর্গের কর্ণের দৈর্ঘ্য বৃত্তের ব্যাসের সমান।
• বৃত্তের অন্তস্ত চুতুর্ভূজের দুটি বিপরীত কোণের সমষ্টি ১৮০ ডিগ্রি।
• বৃত্তের সমান জ্যা এর মধ্যবিন্দু গুলো সমবৃত্ত ।
• বৃত্তের সকল সমান জ্যা কেন্দ্র থেকে সমদূরবর্তী ।
• দুটি নির্দিষ্ট বিন্দু দিয়ে ৩টি বৃত্ত আকা যায় ।
• বৃত্তের পরিধি ও ব্যাসের অনুপাতকে π বলে ।
• বৃত্তের দুটি জ্যায়ের মধ্যে কেন্দ্রের নিকটতম জ্যাটি অপর জ্যা অপেক্ষা বড় ।
• বৃত্তের ব্যাসই বৃত্তের বৃহত্তম জ্যা ।
• কোন বৃত্তের ৩টি সমান জ্যা একই বিন্দুতে ছেদ করলে ওই বিন্দুটি বৃত্তের কেন্দ্রে অবস্থিত হবে ।

গোলক

পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল: 4\pi r^2
আয়তন: \frac{4}{3}\pi r^3
অর্ধগোলকের সমগ্র পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল: 3\pi r^2

চতুর্ভূজ

বহুভুজ

• বহুভুজের কর্ণের সংখ্যা= n(n-3)/2
• বহুভুজের কোণগুলির সমষ্টি=(2n-4)সমকোণ; এখানে n=বাহুর সংখ্যা

ঘনক

ঘনকের ঘনফল = (যেকোন বাহু)³ ঘন একক
ঘনকের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল = 6× বাহু² বর্গ একক
ঘনকের কর্ণ = √3×বাহু একক

ঘনবস্তু (আয়তকার)

আয়তঘনকের ঘনফল = (দৈৰ্ঘা×প্রস্ত×উচ্চতা) ঘন একক
আয়তঘনকের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল = 2(ab + bc + ca) বর্গ একক [ যেখানে a = দৈর্ঘ্য b = প্রস্ত c = উচ্চতা ]
আয়তঘনকের কর্ণ = √a²+b²+c² একক
চারি দেওয়ালের ক্ষেত্রফল = 2(দৈর্ঘ্য + প্রস্থ)×উচ্চতা

সিলিন্ডার

সমবৃত্তভূমিক সিলিন্ডারের ভূমির ব্যাসার্ধ r এবং উচ্চতা h আর হেলানো তলের উচ্চতা l হলে,
সিলিন্ডারের আয়তন = πr²h
সিলিন্ডারের বক্রতলের ক্ষেত্রফল (সিএসএ) = 2πrh।
সিলিন্ডারের পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল (টিএসএ) = 2πr (h + r)

ইংরেজি শব্দ

পাটিগণিত ও পরিমিতি

জ্যামিতি