ত্রিকোণমিতিক অনুপাত
sinθ = \frac{লম্ব}{অতিভুজ}
cosecθ = \frac{অতিভুজ}{লম্ব}
cosecθ = \frac{1}{sinθ}
cosθ = \frac{ভূমি}{অতিভুজ}
secθ = \frac{অতিভুজ}{ভূমি}
secθ = \frac{1}{cosθ}
tanθ = \frac{লম্ব}{অতিভুজ}
cotθ = \frac{অতিভুজ}{লম্ব}
cotθ = \frac{1}{cotθ}
এখানে –
r = \sqrt{x^2+y^2}; π রেডিয়ান = ১৮০ ডিগ্রিঅনুপাতের সীমাবদ্ধতা:
| অনুপাত | ডোমেন | রোঞ্জ |
|---|---|---|
| sinθ | [-1,1] or, ‒1≤sinθ≤1 | [-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}] or, -90°≤θ≤90° |
| cosθ | [-1,1] or, ‒1≤cosθ≤1 | [0,\pi] or, 0°≤θ≤90° |
| tanθ | [-\infty,\infty] or, ‒\infty≤cosθ≤\infty | [-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}] or, -90°≤θ≤90° |
| cotθ | [-\infty,\infty] or, -\infty≤cosθ≤\infty | [-\frac{\pi}{2},0)\cup(0,\frac{\pi}{2}] or, -90°≤θ≤90° কিন্তু θ\neq0 |
| secθ | (-\infty,1]\cup[1,\infty] or, secθ ≥ 1 অথবা, secθ ≤ ‒ 1 | [0,\frac{\pi}{2})\cup(\frac{\pi}{2},\pi] or, 0°≤θ<90° অথবা, 90°<θ≤180° |
| cosecθ | (-\infty,1]\cup[1,\infty] or, cosecθ ≥ 1 অথবা, cosecθ ≤ ‒ 1 | [-\frac{\pi}{2},0)\cup(0,\frac{\pi}{2}] or, -90°≤θ<0° অথবা, 0°<θ≤90° |
অনুপাতগুলোর মান
| অনুপাত | 0 | 30 | 45 | 60 | 90 |
|---|---|---|---|---|---|
| sin | 0 | \frac{1}{2} | \frac{1}{\sqrt{2}} | \frac{\sqrt{3}}{2} | 1 |
| cos | 1 | \frac{\sqrt{3}}{2} | \frac{1}{\sqrt{2}} | \frac{1}{2} | 0 |
| tan | 0 | \frac{1}{\sqrt{3}} | 1 | \sqrt{3} | অসংঙ্গায়িত |
| cot | অসংঙ্গায়িত | \sqrt{3} | 1 | \frac{1}{\sqrt{3}} | 0 |
| sec | 1 | \frac{2}{\sqrt{3}} | \sqrt{2} | 2 | অসংঙ্গায়িত |
| cosec | অসংঙ্গায়িত | 2 | \sqrt{2} | \frac{2}{\sqrt{3}} | 1 |
n জোড়: অনুপাত অপরিবর্তিত থাকে।
sin (n.90° ± θ) = sin θ
cos (n.90° ± θ) = cos θ
tan (n.90° ± θ) = tan θ
cot (n.90° ± θ) = cot θ
sec (n.90° ± θ) = sec θ
cosec (n.90° ± θ) = cosec θ
n বিজোড়: অনুপাত সহ-অনুপাতে পরিবর্তিত হয়। অর্থাৎ,
sin (n.90° ± θ) = cos θ
cos (n.90° ± θ) = sin θ
tan (n.90° ± θ) = cot θ
cot (n.90° ± θ) = tan θ
sec (n.90° ± θ) = cosec θ
cosec (n.90° ± θ) = sec θ
(n.90° ± θ) এর অবস্থান ১ম চতুর্ভাগে: নতুন অনুপাত ধনাত্মক
(n.90° ± θ) এর অবস্থান ২য় চতুর্ভাগে: মূল অনুপাত sin বা cosec হলে নতুন অনুপাত ধনাত্মক, তা নাহলে নতুন অনুপাত ঋণাত্মক।
(n.90° ± θ) এর অবস্থান ৩য় চতুর্ভাগে: মূল অনুপাত tan বা cot হলে নতুন অনুপাত ধনাত্মক, তা নাহলে নতুন অনুপাত ঋণাত্মক।
(n.90° ± θ) এর অবস্থান ৪র্থ চতুর্ভাগে: মূল অনুপাত cos বা sec হলে নতুন অনুপাত ধনাত্মক, তা নাহলে নতুন অনুপাত ঋণাত্মক।
যেমন:
- sin (‒ θ) = ‒ sin θ
- sin (1*90+θ) = sin (90+θ) = cosθ
- sin (2*90+θ) = sin (180+θ) = -sinθ
- cosec (‒ θ) = ‒ cosec θ
- tan (‒ θ) = ‒ tan θ
- cot (‒ θ) = ‒ cot θ
- cos (‒ θ) = cos θ
- sec (‒ θ) = sec θ
- sin^2\theta+cos^2\theta=1
- sec^2\theta-tan^2\theta=1
- cosec^2\theta-cot^2\theta=1
- sin2\theta=2sin\theta cos\theta
- cos2\theta=cos^2\theta-sin^2\theta
- 2sin^2\theta=1-cos2\theta
- 2cos^2\theta=1+cos2\theta
- tan^2\theta=\frac{1-cos2\theta}{1+cos2\theta}
- sin2\theta=\frac{2tan\theta}{1+tan^2\theta}
- cos2\theta=\frac{1-tan^2\theta}{1+tan^2\theta}
- tan2\theta=\frac{2tan\theta}{1-tan^\theta}
- tan3\theta=\frac{3tan\theta-tan^3\theta}{1-3tan^2\theta}
- sin3\theta=3sin\theta-4sin^3\theta
- cos3\theta=4cos^3\theta-3cos\theta
- 2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B)
- 2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B)
- 2cosAcosB=cos(A+B)+cos(A-B)
- 2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B)
- sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB
- sin(A-B)=sinAcosB-cosAsinB
- sin(A+B).sin(A-B)=sin^2A-sin^2B=cos^2B-cos^2A
- cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB
- cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB
- cos(A+B).cos(A+B)=cos^2A-cos^2B=sin^2B-sin^2A
- tan(A+B)=\frac{tanA+tanB}{1-tanAtanB}
- tan(A-B)=\frac{tanA-tanB}{1+tanAtanB}